فراکتال ها، مسیری برای دیدن بی نهایت

نظريه آشوب و سيستم‌های پيچيده، مشخصه‌ها، واژگان و مفاهيم مخصوص خود را دارند كه بدون آن‌ها نمی توان تعبير درستی از استفاده از آن ها در مطالعه يك پديده داشت. در مطالب بعدی بعضی از مهم‌ترين مشخصه‌ها و مفاهيم مرتبط با نظریه آشوب و سیستم های پیچیده را تشريح خواهم کرد. در این نوشتار، با مفهوم فراکتال (برخال به فارسی) آشنا می شوید.

در دهه 1980، بنوا مندلبروت رايانه خانگي خود را براي آنچه را كه وي فراكتال ناميد، به‌كاربرد. يك فراكتال شكل‌های مشابه به خودی هستند كه يك شكل پايه‌ای در آن‌ها به‌طور مداوم و در سطح‌هاي مختلف تكرار شده است. به‌طور مثال اگر شما به سرخس نگاه‌كنيد، پی می بريد كه زيرشاخه‌های موجود در شاخه‌های درخت سرخس خود مشابه كل درخت هستند و زير شاخه زير شاخه‌های درخت نيز همين ساختار را تكرار كرده‌اند، اين شكل پايه‌ای همان فراكتال است.

ساختار خود-متشابهی درخت سرخس

فراکتال ها، الگوهای غيرمنتظره‌ای از نظم در آشوب هستند كه همه آن‌ها خاصيت خودمتشابه دارند. يك سيستم خودمتشابه داراي يك الگوی ثابتی است كه در سطوح مختلف تكرار شده است. به‌طور مثال، اگر به تصوير شن‌های صحرا بنگريد، نمی توانيد حدس بزنيد كه آيا فاصله ديد شما 5 متر است يا 500 متر، اين تصاوير می توانند خيلی نزديك باشند و يا خيلی دور. شكل پايه‌ای تلی از ماسه در تمام فواصل شبيه به هم است. به اين حالت، «خودمتشابه» و يا «مستقل از مقياس»، گفته می شود. شكل فراكتال‌ها در سطوح مختلف از نگرش، مشابه خودش است ولی با هر مقياس به آن‌ها نگاه كنيد، ظاهر مشابه و يكسانی را خواهيد ديد. در تصوير شن‌های صحرا، تنها زمانی می توانيد مقياس را تشخيص دهد كه به‌طور مثال، چند شتر در تصوير باشند. شما می توانيد تصويری را كه يك سوسك بر روی شن‌های صحرا در حال راه‌رفتن است را نيز تصور كنيد كه مقياس تصويرتان را نشان می دهد.

تصوير تلی از ماسه (مقياس قابل حدس زدن نيست)

همان شكل قبلی ولی با اضافه شدن چند شتر (مقياس قابل درك است)

در سال 1975، بنوا مندلبروت كه يك رياضی دان بود و برای IBM کار می کرد، عبارت فراكتال را براي تشريح الگوهای خودمتشابه به‌كار برد. وي در سال 1967، یک سوال و چالشی را مطرح كرد. سوال از اين قرار بودكه طول خط ساحلی بريتانيا چقدر است (چند کیلومتر است)؟ شايد در نگاه اول جواب اين سوال به نظر ساده بيايد. اما محاسبه آن بسيار سخت است. شايد چنين فكر شود كه با يك مقیاس نقشه برداری و قراردادن آن بر روي نقشه بريتانيا، مي‌توان اندازه و در نهايت طول ساحل بريتانيا را محاسبه كرد. اما اگر ما يك نقشه دقيق‌تر داشته باشيم، به اين موضوع پی خواهيم برد كه تعداد زيادی از خليج‌های كوچك و خطوط ساحلی وجود دارند كه در نقشه‌های با مقیاس بزرگتر، نشان داده نشده‌اند. اين موضوع باعث می شود كه خط ساحلی افزايش یابد. اگر ما حتی بخواهيم، اندازه كاملاً دقيق را محاسبه كنيم، پی خواهيم برد كه طول خط ساحلی بازهم افزايش می يابد. بنابراين، اگر شما درست درباره اين موضوع فكر كنيد، طول خط ساحلی كه ما محاسبه می كنيم، بستگی به نحوه محاسبه ما دارد و هرچقدر كه بخواهيم دقيق‌تر محاسبه كنيم، طول خط ساحلي افزايش می يابد. در نهايت بايد گفت كه طول امتداد خط ساحلی در واقع بی نهايت است. اگر شما به نقشه نگاه كنيد، نمی توانيد تشخيص دهيد كه به امتداد يك كيلومتر از خط ساحلی نگاه می كنيد و يا هزار كيلومتر. در حقيقت خط ساحلی ساختار فراكتالی دارد. شما هرچقدر كه به نقشه با بزرگنمايی بالا نگاه كنيد، شكل اصلی نقشه‌ثابت باقی می ماند. خطوطی كه در نقشه ديده می شوند، می توانند بلوك‌های زمين‌های كشاورزی باشند و يا مرزهای بين‌كشورها و به طور مثال آمريكای جنوبی باشند.

نقشه آمريكای جنوبی و ساختار فراكتالی آن

 

خط ساحلی و شمالی نقشه فوق كه در مقياسی بزرگتر می تواند نقشه كشورهای ديگری در نظر گرفته شود (يعني نقشه در نقشه)

درختان نيز خود متشابه هستند. يك شاخه كوچك از يك درخت، شكل پايه‌ای و اصلی كل درخت را داراست. اگر شما حرف انگليسی (Y) را در نظر بگيريد و همان حرف Y را در هر كدام از شاخه‌های بالايی تكرار كنيد و اين كار را برای چندين مرحله به انجام برسانيد، آخر كار با شكلی مشابه درخت مواجه خواهيد بود. طبيعت اطراف ما مملو از فراكتال‌هاست. شكل‌هاي فراكتالی را در كلم و يا كلم بروكلی نيز می توان يافت. اعضای بدن ما نيز با ساختارهای فراكتالی پر شده است. شكل مجاری هوا در ریه ‌های انسان در واقع براساس فراكتال ‌به شكل معكوس حرف (Y) بنا شده است. كليه‌ها، شريان‌هاي خونی و حتی شبكه‌های عصبی در مغز انسان براساس شكل‌های فراكتالی بنا شده‌اند.

ساختار فراكتالي در ریه هاي انسان

فراكتال‌هايی كه در طبيعت پيدا می شوند، همانند فراكتال‌هايی كه با فرمول‌های رياضی ساخته می شوند، كامل نيستند و در سطوح بزرگنمايی بی نهايت تكرار نمی شوند. در طبيعت، به‌طور كل حداكثر هفت سطح از الگوهاي فراكتالی يافت می شوند و بعد از اين هفت سطح، اندازه فراكتال به اندازه‌ايی كوچك می شود كه ديگر قابل شناخت نيست. فراكتال‌ها نه‌تنها در دنيای طبيعت يافت می شوند، بلكه در دنيای ساخت بشر نيز ديده‌ می شوند. اگر شما به نقشه يك شهر نگاه كنيد، ساختار خودمتشابهی را خواهيد ديد. به‌طور مثال بزرگراه‌ها را می بينيد كه جاده‌ها از آن‌ها به صورت رشته‌هايی منشعب شده‌اند و از همان جاده‌ها نيز خيابان‌هايی منشعب شده و از خيابان‌ها هم كوچه‌ها منشعب شده‌اند.

ساختار فراکتالی در شهرها

برای ما ایرانی ها شاید درک فراکتال آسان تر از سایر مردمان باشد. زیرا ما از دوران کودکی بر روی فرش و قالی های ایرانی بازی کرده ایم که نقش و نگار اکثر فرش ها و قالی ها از تکرار اشکال مختلف هندسی و غیر هندسی در سطوح مختلف تشکیل شده اند. این اشکال دقیقا همان فراکتال هایی هستند که طرح بزرگ فرش و قالی را تشکیل می دهند.

فراکتال ها در فرش

نکته جالب این که فراکتال را می توان حتی در موضوعات انتزاعی و مفهومی نیز تعریف کرد. به عنوان مثال، نحوه شیوع یک شایعه در یک اجتماع و یا حتی تشکیل یک منطق راهبردی در فرهنگ یک سازمان یا سیستم، ساختار فراکتالی دارد. داستان ها، روایت ها، ضرب المثل ها و حتی تصاویر می توانند به صورت یک فراکتال در فضای فکری یک جامعه یا سازمان، توسعه یافته، در سطوح مختلف تکرار شده و گسترش یابند.

حال سؤال اينجاست كه چرا طبيعت الگوهاي فراكتالی را در بسياری از ساختارها به كار برده است؟ انتخاب طبيعی گرايشی در انتخاب ساختارهايی با كمترين كارايی براي حذف كردن دارد و در طول زمان تنها ساختارهايی كه بالاترين كارايی را دارند، باقی می مانند. در ریه ‌های ما، ساختار مجاری هوا طوری توزيع شده‌اند كه بالاترين كارايی را در رساندن اكسيژن به جريان خون داشته باشند. در يك الگوی فراكتالی همانند مجاری هوا در ریه، قطر مجاری در هر فراكتالي (در نقطه انشعاب) طوری كاهش يافته است كه نسبت كاهش در تمامی انشعاب‌ها ثابت است و همچنين بالاترين ضريب نفوذ هوا به درون جريان خون از طريق اين مجاری را تأمين كرده است.

نحوه گسترش آتش در یک مزرعه یا جنگل، ساختار صاعقه، نوع خاصی از کلم نیز ساختار فراکتالی دارند. حتی ساختار کهکشان ها و منظومه های ستارگان نیز ساختار فراکتالی دارند. نکته جالب این که پروفسور حسابی نظریه ای را توسعه داد که معتقد بود هر ذره ای بی نهایت گسترده است و در تمام فضا پخش شده است. در این نگرش همه ذرات جهان بهم مرتبط هستند. زیرا فرض بر این است که هر ذره تا بی نهایت گسترده است و همه ذرات جهان در نقاط مختلف جهان با هم وجود دارند. یعنی در واقع قسمت کوچکی از تمام جهان در هر نقطه ای وجود دارد. به طور کلی باید گفت که  فراکتال ها از ذرات بی نهایت کوچک کوانتومی تا کهکشان ها و سوپر نووا ها وجود دارند. به عبارت کلی تر، فراکتال ها مکانیسم آفرینش هستی توسط خداست.